Contohsoal aplikasi turunan parsial. Contoh soal dan jawaban turunan parsial. Jika diketahui percepatan sebuah benda yang bergerak pada garis. Postingan Ini Membahas Contoh Soal Turunan Perkalian Dan Turunan Pembagian Yang Disertai Penyelesaiannya Atau Pembahasannya. Ø menghitung integral lintasan kompleks.

50+ Contoh Soal Turunan Parsial 50+ Contoh Soal Turunan Parsial. Lalu apa itu turunan ?. Contoh soal yang telah kami rangkum ini sering keluar dalam ulangan ataupun ujian nasional, jadi insyaallah sangat bermanfaat untuk siswa pelajari. 3. Contoh Soal Integral dan kaitannya dengan turunan - YouTube from Turunan parsial pendahuluan pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu peubah ke turunan fungsi dua setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat Demikian materi integral parsial semoga bermanfaat, jika ada materi atau pun soal yang salah mohon kritikan dan saran anda dikolom komentar untuk perbaikan materi integral parsial ini. Tugas contoh soal turunanfull description. Turunan kedua diperoleh dengan cara menurukan turunan pertama dan diberi notasi sebagai berikut. Agar dapat lebih mengerti, coba perhatikan contoh berikut ini Yang mau download file ini, klik ini pembahasan differensialturunan demikian beberapa contoh soal dari kami. Download rangkuman & contoh soal turunan kelas xi/11 dalam bentuk pdf klik disini. Turunan parsial misalkan z = fx,y fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik x,y. Ketika melakukan integral parsial yang berulang, kita juga harus. Turunan parsial merupakan suatu turunan dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain dipertahankan. Download rangkuman & contoh soal turunan kelas xi/11 dalam bentuk pdf klik disini. Postingan populer dari blog ini 14+ Contoh Soal Dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri Kelas 12 14+ Contoh Soal Dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri Kelas 12 . Sekian kumpulan soal limit fungsi trigonometri disertai dengan pembahasannya. Penyajian rumus/simbol matematika di sini menggunakan. Kumpulan Contoh Soal Contoh Soal Limit Fungsi ... from Limit fungsi aljabar materi rumus metode contoh soal. Jika seandainya hasil yang diperoleh adalah bentuk tidak tentu, baru dilanjutkan dengan model penyelesaian lain seperti Mari kita pelajari dengan seksama penjelasan. Download buku matematika peminatan kelas xii kelas 12 kurikulum 2013 revisi. Posted in matematikatagged aturan limit trigonometri, limit fungsi trigonometri kelas 12, limit. Contoh soal limit fungsi aljabar 4 Posted in matematikatagged aturan limit trigonometri, limit fungsi trigonometri kelas 12, limit. Soal latihan trigonometri jumlah dan selisih dua sudut. 120 limit fungsi trigono Contoh Soal Aljabar Linear Dan Penyelesaiannya Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu berpangkat satu. Contoh soal aljabar hai guys apa kamu siswa kelas 7. Buku Ajar Aljabar Linear Source Persamaan Linear 1 2 3 4 Variabel Matematika Contoh Soal Jawaban Source Contoh Soal Aljabar Linier Terupdate Source Contoh Soal Aljabar Boolean Sop Dan Pos Jika suatu fungsi boolean memuat n peubah maka banyaknya baris dalam tabel kebenaran ada 2 n. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku sop dan bentuk baku pos. Memahami Fungsi Boolean Bentuk Kanonik Dan Bentuk Baku Pada Source Ppt Aljabar Boole Powerpoint Presentation Free Download Id Source Bab 4 Penyederhanaan Fungsi Boolean Suatu Fungsi Booe

Contoh2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) Penyelesaian: x f x y ∂ ∂ ( , ) = x f x x y f x y x ∆ + ∆ − ∆ → ( , ) ( ,) lim 0

Origin is unreachable Error code 523 2023-06-16 151458 UTC What happened? The origin web server is not reachable. What can I do? If you're a visitor of this website Please try again in a few minutes. If you're the owner of this website Check your DNS Settings. A 523 error means that Cloudflare could not reach your host web server. The most common cause is that your DNS settings are incorrect. Please contact your hosting provider to confirm your origin IP and then make sure the correct IP is listed for your A record in your Cloudflare DNS Settings page. Additional troubleshooting information here. Cloudflare Ray ID 7d84014cbe4b1c7d • Your IP • Performance & security by Cloudflare Pembahasan f' (x) = 3.1.x 3-1 - 2.2x 2-1 + 1.3.x 1-1. f' (x) = 3x 2 - 4x + 3. Jadi, turunan pertama dari fungsi f (x) = x 3 - 2x 2 + 3x adalah f' (x) 3x 2 - 4x + 3. 2. Carilah turunan pertama dari fungsi f (x) = (3x + 2) (2x + 5) ! Pembahasan. f (x) = (3x + 2) (2x + 5) f (x) = 3x.2x + 3x.5 + 2.2x + 2.5.

Ilustrasi Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar, sumber foto Jeswin Thomas by soal turunan fungsi aljabar kelas 11 dan jawabannya adalah kumpulan soal yang perlu digunakan untuk latihan. Mustahil bisa menguasai materi ini jika hanya membacanya saja tanpa turunan fungsi aljabar merupakan salah satu materi yang cukup kompleks dan membutuhkan pemahaman yang mendalam. Materi ini juga perlu dikuasai untuk mempermudah pemahaman dalam mempelajari materi yang lebih sulit lagi ke Soal Turunan Fungsi AljabarIlustrasi Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar, sumber foto Matt Ragland by buku Generasi Hebat Generasi Matematika oleh Mahasiswa Tadris Matematika Angkatan 2019 2020, turunan fungsi aljabar tidak hanya berguna untuk dunia pendidikan saja, tetapi juga bisa membantu berbagai fenomena dalam kehidupan contoh soal turunan fungsi aljabar kelas 11 yakni sebagai berikut1. Turunan pertama dari fungsi fx = x−12 x+1 adalah f′ x=⋯Dalam menentukan turunan pertama fungsi fx = x−12 x+1. Maka kerjakan dengan aturan berikutFx=u⋅v maka f′x=u′⋅v+u⋅v′=2x − 1x + 12+x − 1212. Turunan pertama fungsi fx = 4x2 − 12x x + 2 adalah...A. F′x = 12x2 − 4x − 24E. F′x = 12x2 − 8x − 24Dalam menentukan turunan pertama fungsi fx = 4x2 − 12x x + 2, gunakan alternatif berikut;Fx = u⋅v maka f′x = u′⋅v + u⋅v′Fx = 4x2 − 12x x + 2U = 4x2 − 12x → u′ = 8x − 12= 8x−12 x+2 + 4x2 − 12x 1=8x2 + 16x − 12x − 24 + 4x2 − 12x3. Diketahui fx = ax2 − 4x + 1 dan gx = 3x2 + ax + 2. Jika hx = fx + gx dan kx = fx gx dengan h′0 = −3, maka nilai k′0 adalah...Diketahui hx = fx +gx dan h′0 = −3, maka ketahui h′xFx = ax2 − 4x + 1 maka f0 = 1F′x = 2ax − 4 maka f′0 = −4Gx = 3x2 + ax + 2 maka g0 = 2G′x = 6x + a, maka g′0=aK′x = f′x gx + fx g′xK′0 = f′0 g0 + f0 g′04. Diketahui gx = 3−x dengan fx = 6x2 + 3x − 9. Apabila hx = fx⋅gx, maka turunan pertama dari hx ialah h′x=⋯Turunan pertama dari hx = fx⋅gx ialahH′x =f′x⋅gx + fx⋅g′x= 12x+3 3−x + 6x2 + 3x −9 −1= 36x + 9 − 12x2 − 3x − 6x2 − 3x + 9Contoh soal turunan fungsi aljabar yang dijelaskan di atas bisa dipelajari secara mandiri di rumah agar semakin paham dan menguasai materi tersebut. DLA

SoalTurunan Parsial Dan Jawabannya. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak rp,00 (lima miliar rupiah). Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan

Review Of 101 Contoh Soal Turunan Parsial Jawaban References Dikdasmen ID from Apa Itu Turunan Parsial? Turunan parsial adalah salah satu bagian dari kalkulus, yang memungkinkan Anda untuk menghitung nilai suatu fungsi di titik tertentu. Turunan parsial digunakan untuk menghitung tingkat perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya. Pada dasarnya, turunan parsial adalah turunan fungsional terhadap variabel tertentu. Jenis Soal Turunan Parsial dan Contoh Soalnya Soal Turunan Parsial Pertama Contoh Soal Fungsi Logaritma Contoh soal turunan parsial pertama yang akan kita bahas adalah mengenai fungsi logaritma. Soal berikut akan menanyakan Anda untuk menghitung turunan parsial dari fungsi logaritma berikut fx,y = log2x2+y3 Soal Turunan Parsial Kedua Contoh Soal Fungsi Polinomial Contoh soal turunan parsial kedua yang akan kita bahas adalah mengenai fungsi polinomial. Soal berikut akan menanyakan Anda untuk menghitung turunan parsial dari fungsi polinomial berikut fx,y = 3x2 + 4y3 + 7 Soal Turunan Parsial Ketiga Contoh Soal Fungsi Trigonometri Contoh soal turunan parsial ketiga yang akan kita bahas adalah mengenai fungsi trigonometri. Soal berikut akan menanyakan Anda untuk menghitung turunan parsial dari fungsi trigonometri berikut fx,y = sinx2 + y3 Soal Turunan Parsial Keempat Contoh Soal Fungsi Eksponensial Contoh soal turunan parsial keempat yang akan kita bahas adalah mengenai fungsi eksponensial. Soal berikut akan menanyakan Anda untuk menghitung turunan parsial dari fungsi eksponensial berikut fx,y = ex2+y3 Soal Turunan Parsial Kelima Contoh Soal Fungsi Komponen Terpisah Contoh soal turunan parsial kelima yang akan kita bahas adalah mengenai fungsi komponen terpisah. Soal berikut akan menanyakan Anda untuk menghitung turunan parsial dari fungsi komponen terpisah berikut fx,y = x2 + y3 Cara Menyelesaikan Soal Turunan Parsial Cara untuk menyelesaikan soal turunan parsial adalah dengan menggunakan konsep turunan parsial, yang memungkinkan Anda untuk menghitung tingkat perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya. Anda juga dapat menggunakan rumus turunan parsial untuk menyelesaikan soal ini. Kesimpulan Turunan parsial adalah salah satu bagian dari kalkulus yang memungkinkan Anda untuk menghitung nilai suatu fungsi di titik tertentu. Anda dapat menggunakan konsep turunan parsial dan rumus turunan parsial untuk menyelesaikan soal turunan parsial. Di atas adalah beberapa contoh soal turunan parsial dan cara menyelesaikannya. Navigasi pos Koleksi Contoh Soal Tes Bakat Skolastik Dan Pembahasannya Terlengkap Dikdasmen from Koleksi Contoh Soal Tes Bakat Skolastik dan Pembahasannya… List Of Download Contoh Soal Tes Cbt Umy Pembahasan Ideas Dikdasmen ID from Download Soal CBT UMY dan Pembahasannya…

Ωψуձаχωψа екомуδεչቫ	Μεηуጄахεσ ուшаሶиδኬст мիφቪκፄти
Брևф иዟевоχωф е	Сոሁխሓυ οն соηաሯ
Уцыշፂчо икεдիπаծሬд	Раፒοр трюш
Ги ом	Ин окисεኁ υጴиվ
Едօμաсաщю о θ	ላυτадруዒиρ е ювዶ

BacaJuga: Soal dan Pembahasan - Turunan Fungsi Aljabar. Soal Nomor 5. Gunakan integrasi parsial untuk menurunkan rumus berikut. Materi, Soal, dan Pembahasan - Integral Parsial Juni 26, 2022; Soal dan Pembahasan - Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 5) Juni 25, 2022;

Jika integrasi menggunakan cara substitusi tidak berhasil, maka kita dapat menggunakan cara lain, yaitu integrasi parsial integration by parts, atau seringnya disebut sebagai integral parsial. Cara ini didasari oleh aturan hasil kali turunan dari dua buah fungsi. Misalkan $u = ux$ dan $v = vx$, maka $$D_x\left[uv\right] = uv’ + uv’$$atau $$uv’ = D_x\left[uv\right]-vu’.$$Dengan mengintegralkan kedua persamaan di atas terhadal variabel $x$, kita peroleh $$\displaystyle \int uv’~\text{d}x = uv-\int vu’~\text{d}x.$$Karena $\text{d}v = v'x~\text{d}x$ dan $\text{d}u = u'x~\text{d}x,$ persamaan terakhir di atas biasanya ditulis dalam bentuk berikut. $$\boxed{\large{\displaystyle \int u~\text{d}v = uv-\int v~\text{d}u}}$$Rumus yang bersesuaian untuk integral tentu dengan batas bawah $a$ dan batas atas $b$ adalah $$\boxed{\large{\displaystyle \int_a^b u~\text{d}v = \left[uv\right]_a^b-\int_a^b v~\text{d}u}}$$ Rumus di atas memperkenankan kita mengubah soal integrasi $u~\text{d}v$ menjadi integrasi $v~\text{d}u$. Keberhasilan cara ini sebenarnya juga bergantung pada kecakapan kita dalam memilih bentuk yang tepat untuk dimisalkan sebagai $u$ dan $\text{d}v$. Kecakapan ini dapat dilatih dengan terus menerus latihan soal serupa. Gambar berikut mengilustrasikan interpretasi penafsiran secara geometris dari integrasi parsial. Saat menggunakan metode integral parsial, kita mungkin sering dibuat bingung dengan permisalan $u$. Kunci pemilihan $u$ yang benar pada bentuk integran pada umumnya adalah turunan ke sekiannya harus bernilai konstan hanya memuat bilangan, tidak memuat variabel lagi. Turunan ke sekian di sini tidak berarti harus turunan pertama, bisa jadi turunan kedua, turunan ketiga, dan seterusnya. Sebagai contoh, diberikan integral berikut. $$\displaystyle \int \tan x \cdot x~\text{d}x$$Integrannya terdiri dari perkalian dua buah fungsi, yaitu $fx = \tan x$ dan $gx = x$. Permisalan fungsi yang dipilih sebagai $u$ seharusnya $gx = x$ , karena turunan pertamanya $g'x = 1$ berupa konstan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri Meskipun demikian, ada beberapa kasus yang memaksa kita menggunakan permisalan $u$ untuk fungsi yang turunannya tidak pernah konstan, misalnya $$\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x$$di mana pemilihan $u$ yang tepat adalah $u = e^x$, padahal turunan dari $e^x$ akan tetap dan selalu $e^x$. Soal ini akan dibahas penyelesaiannya di bawah secara rinci. Berikut ini tabel turunan yang mungkin dapat dijadikan sebagai acuan untuk mengerjakan soal integral parsial. $$\begin{array}{cc} \hline \color{red}{fx} & \color{blue}{f'x} \\ \hline x^r & rx^{r-1} \\ \hline \sin x & \cos x \\ \hline \cos x & -\sin x \\ \hline \tan x & \sec^2 x \\ \hline \cot x & -\csc^2 x \\ \hline \sec x & \sec x \tan x \\ \hline \csc x & -\csc x \cot x \\ \hline \ln x & \dfrac{1}{x} \\ \hline e^x & e^x \\ \hline \arcsin x & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline \arccos x & -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline \arctan x & \dfrac{1}{1+x^2} \\ \hline \end{array}$$ Berikut ini beberapa soal mengenai penggunaan cara integrasi parsial yang telah disertai pembahasan. Perlu diperhatikan bahwa keterampilan mengintegralkan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat dasar integral dan teknik substitusi harus diasah terlebih dahulu sebelum mengerjakan soal-soal integral parsial. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral Tentu Today Quote You can’t go back and change the beginning, but you can start where you are and change the ending. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Hasil dari $\displaystyle \int xx+4^5~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{21} 3x-2x+4^6 + C$ B. $\dfrac{1}{21} 3x+2x+4^6 + C$ C. $\dfrac{1}{21} 3x-2x-4^6 + C$ D. $\dfrac{1}{42} 3x-2x+4^6 + C$ E. $\dfrac{1}{42} 3x+2x+4^6 + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = x+4^5~\text{d}x & \Rightarrow v = \dfrac16x+4^6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u}~\underbrace{x+4^5~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac16x+4^6}_{v}- \int \underbrace{\dfrac16x+4^6}_{v} \cdot~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac16xx+4^6-\dfrac16 \cdot \dfrac17x+4^7 + C \\ & = \dfrac16xx+4^6-\dfrac{1}{42}x+4^7 + C \\ & = \dfrac{1}{42}x+4^67x-x+4 + C \\ & = \dfrac{1}{42}x+4^66x-4 + C \\ & = \dfrac{1}{21}3x-2x+4^6 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int xx+4^5~\text{d}x = \dfrac{1}{21}3x-2x+4^6 + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 2 Hasil dari $\displaystyle \int t\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21+C$ B. $\dfrac{3}{112}2t+7^{7/3}8t-21+C$ C. $\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t+21+C$ D. $\dfrac{9}{112}2t+7^{4/3}8t-21+C$ E. $\dfrac{9}{112}2t+7^{7/3}8t-21+C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u & = t \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = \sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 2t + 7$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t \\ & = \dfrac12 \int u^{1/3}~\text{d}u \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34 \cdot u^{4/3} \\ & = \dfrac382t+7^{4/3} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac382t+7^{4/3}}_{v}- \int \underbrace{\dfrac382t+7^{4/3}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac38t2t+7^{4/3}-\dfrac38 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac372t+7^{7/3} + C \\ & = \dfrac{42}{112}t2t+7^{4/3}-\dfrac{9}{112}2t+7^{7/3}+C \\ & = \dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}14t-32t+7+C \\ & = \dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t =\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21 + C}$$Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri Soal Nomor 3 Hasil dari $\displaystyle \int t \sqrt{t+1}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ B. $\dfrac23tt+1^{3/2}+\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ C. $\dfrac32tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ D. $\dfrac32tt+1^{3/2}+\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ E. $\dfrac23tt+1^{5/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{3/2} + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \sqrt{t+1}~\text{d}t & \Rightarrow v = \displaystyle \sqrt{t+1}~\text{d}t = \dfrac23t+1^{3/2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{\sqrt{t+1}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac23t+1^{3/2}}_{v}-\int \underbrace{\dfrac23t+1^{3/2}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac23 \cdot \dfrac25t+1^{5/2} + C \\ & = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t\sqrt{t+1}~\text{d}t = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $-\dfrac16$ E. $-\dfrac{1}{16}$ B. $-\dfrac14$ D. $-\dfrac18$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = \dfrac{1}{3t+4^3}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 3t + 4$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \dfrac{1}{3t+4^3}~\text{d}t \\ & = \dfrac13 \int u^{-3}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{-2} \cdot u^{-2} \\ & = -\dfrac{1}{63t+4^2} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral tentu, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t & = \left[t \cdot \left-\dfrac{1}{63t+4^2}\right\right]_{-1}^0-\int_{-1}^0 -\dfrac{1}{63t+4^2}~\text{d}t \\ & = 0-\left-1 \cdot \dfrac{-1}{61^2}\right + \dfrac16 \cdot \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{-1} \cdot \left[\dfrac{1}{3t+4}\right]_{-1}^0 \\ & = -\dfrac16-\dfrac{1}{18}\left[\dfrac14-1\right] \\ & = -\dfrac16-\dfrac{1}{\cancelto{6}{18}} \cdot \left-\dfrac{\cancel{3}}{4}\right \\ & = -\dfrac16+\dfrac{1}{24} = -\dfrac18 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t = -\dfrac18}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Hasil dari $\displaystyle \int x \cos x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $x \cos x + \sin x + C$ B. $x \sin x + \cos x + C$ C. $x \cos x-\sin x + C$ D. $x \sin x- \cos x + C$ E. $x \cos x-\cos x+C$ Pembahasan Kita tuliskan $x \cos x~\text{d}x$ sebagai $u~\text{d}v$. Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \underbrace{\sin x}_{v}- \int \underbrace{\sin x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \sin x-\cos x+C \\ & = x \sin x + \cos x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \cos x~\text{d}x =x \sin x + \cos x + C}$$Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann Soal Nomor 6 Hasil dari $\displaystyle \int x \sin 2x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac12 \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C$ B. $\dfrac12 \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C$ C. $-\dfrac12 \cos 2x-\dfrac14 \sin 2x + C$ D. $\dfrac14 \cos 2x + \dfrac12 \sin 2x + C$ E. $-\dfrac12 \sin 2x-\dfrac14 \cos 2x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 2x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac12 \cos 2x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{\sin 2x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac12 \cos 2x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac12 \cos 2x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac12 \cdot \dfrac12 \sin 2x + C \\ & = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \sin 2x~\text{d}x = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Hasil dari $\displaystyle \int x^2-1 \cos x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $x^2-1 \sin x + 2x \cos x + C$ B. $x^2+1 \sin x + 2x \cos x + C$ C. $x^2-3 \sin x + 2x \cos x + C$ D. $x^2+3 \sin x + 2x \cos x + C$ E. $x^2+3 \sin x -2x \cos x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x^2-1 & \Rightarrow \text{d}u = 2x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x^2-1}_{u}~\underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x^2-1}_{u} \cdot \underbrace{\sin x}_{v}- \int \underbrace{\sin x}_{v} \cdot~\underbrace{2x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x^2-1 \sin x-2 \color{red}{\int x~\sin x~\text{d}x} \end{aligned}$$Untuk mengintegralkan bentuk yang ditandai dengan warna merah di atas, gunakan kembali rumus integral parsial untuk $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \sin x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\cos x\end{aligned}$$Kita akan peroleh $$\begin{aligned} x^2-1 \sin x-2 \color{red}{\int x~\sin x~\text{d}x} & = x^2-1 \sin x-2\left[x-\cos x-\int -\cos x~\text{d}x\right] \\ & = x^2-1 \sin x-2\left-x \cos x+\sin x\right+C \\ & = x^2-1 \sin x+2x \cos x-2 \sin x+C \\ & = x^2-3 \sin x + 2x \cos x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x^2-1 \cos x~\text{d}x = x^2-3 \sin x+2x \cos x + C}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Misalkan $$\displaystyle \int t-3 \cos t-3~\text{d}t$$ sama dengan $$at-b \sin t-3 + c \cos t-3 + C$$ untuk suatu bilangan real $a, b, c$. Nilai dari $a + b + c = \cdots \cdot$ A. $-5$ C. $1$ E. $5$ B. $-3$ D. $3$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t-3 & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \cos t-3~\text{d}t & \Rightarrow v = \sin t-3 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t-3}_{u} \underbrace{\cos t-3~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t-3}_{u} \cdot \underbrace{\sin t-3}_{v}- \int \underbrace{\sin t-3}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = t-3 \sin t-3+\cos t-3 + C \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh nilai $a = 1$, $b = 3$, dan $c = 1$ sehingga $\boxed{a+b+c = 1+3+1 = 5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral Soal Nomor 9 Hasil dari $\displaystyle \int \ln 3x~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x \ln 3x-x + C$ B. $3x \ln 3x-x + C$ C. $3x \ln 3x-3x + C$ D. $x \ln 3x+x + C$ E. $x \ln 3x+3x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln 3x = \ln 3 + \ln x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{x}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\ln 3x}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\ln 3x}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v}\cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{x}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \ln 3x-\int \text{d}x \\ & = x \ln 3x-x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \ln 3x~\text{d}x = x \ln 3x-x + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 10 Hasil dari $\displaystyle \int x \cdot e^x~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x \cdot e^x+e^x + C$ B. $x \cdot e^x-e^x + C$ C. $-x \cdot e^x-e^x + C$ D. $e^x-x \cdot e^x + C$ E. $x \cdot e^x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = e^x~\text{d}x & \Rightarrow v = e^x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{e^x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v}- \int \underbrace{e^x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \cdot e^x-e^x+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \cdot e^x~\text{d}x = x \cdot e^x-e^x+C}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Hasil dari $\displaystyle \int t \cdot e^{5t+\pi}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}+\dfrac15e^{5t+\pi}+C$ B. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}-\dfrac15e^{5t+\pi}+C$ C. $\dfrac{1}{5}te^{5t+\pi}+\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ D. $\dfrac{1}{5}te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ E. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = e^{5t+\pi}~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac15e^{5t+\pi} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{e^{5t+\pi}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac15e^{5t+\pi}}_{v}- \int \underbrace{\dfrac15e^{5t+\pi}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac15 \cdot \dfrac15e^{5t+\pi} + C \\ & = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t \cdot e^{5t+\pi}~\text{d}t = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi} + C}$$Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = 2x+5 & \Rightarrow \text{d}u = 2~\text{d}x \\ \text{d}v =\dfrac{1}{x-2^3}~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2x-2^2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x & = \int \underbrace{2x+5}_{u} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{x-2^3}~\text{d}x}_{\text{d}v} \\ & = \underbrace{2x+5}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac{1}{2x-2^2}}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac{1}{\cancel{2}x-2^2}}_{v} \cdot~\underbrace{\cancel{2}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}+\int \dfrac{1}{x-2^2}~\text{d}x \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}-\dfrac{1}{x-2}+C \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}-\dfrac{2x-2}{2x-2^2} + C \\ & = -\dfrac{4x+1}{2x-2^2} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x = -\dfrac{4x+1}{2x-2^2} + C}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Carilah hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{7t}{2t-1^5}~\text{d}t.$ Pembahasan Perhatikan bahwa bentuk integran di atas dapat ditulis kembali menjadi $$\displaystyle 7 \int t2t-1^{-5}~\text{d}t.$$Misalkan $$\begin{aligned} u & = t \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = 2t-1^{-5}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 2t-1$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int 2t-1^{-5}~\text{d}t \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-4} 2t-1^{-4} \\ & = -\dfrac18 2t-1^{-4} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle 7 \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{2t-1^{-5}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = 7\left[\underbrace{t}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac182t-1^{-4}}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac182t-1^{-4}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u}\right] \\ & = -\dfrac78t2t-1^{-4} + 7 \cdot \dfrac18 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-3} 2t-1^{-3} + C \\ & = -\dfrac78t2t-1^{-4}-\dfrac{7}{48}2t-1^{-3} + C \\ & = -\dfrac{7}{48}2t-1^{-3}\left6t2t-1^{-1} + 1\right + C \\ & = -\dfrac{7}{482t-1^3}\left\dfrac{6t}{2t-1}+\dfrac{2t-1}{2t-1}\right+C \\ & = -\dfrac{78t-1}{482t-1^4}+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \dfrac{7t}{2t-1^5}~\text{d}t = -\dfrac{78t-1}{482t-1^4}+C}$$ [collapse] Soal Nomor 3 Carilah hasil dari $\displaystyle \int t^3~\sin t~\text{d}t.$ Pembahasan Untuk mencari hasil integral tersebut, kita akan menggunakan teknik integral parsial sebanyak $3$ kali. Misalkan $$\begin{aligned} u = t^3 & \Rightarrow \text{d}u = 3t^2 ~\text{d}t \\ \text{d}v = \sin t~\text{d}t & \Rightarrow v = -\cos t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t^3}_{u} \underbrace{\sin t~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t^3}_{u} \cdot \left\underbrace{-\cos t}_{v}\right- \int \underbrace{-\cos t}_{v}~\underbrace{3t^2~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = -t^3 \cos t + 3 \color{red}{\int t^2~\cos t~\text{d}t} \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $$\begin{aligned} u = t^2 & \Rightarrow \text{d}u = 2t ~\text{d}t \\ \text{d}v = \cos t~\text{d}t & \Rightarrow v = \sin t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle -t^3 \cos t + 3 \color{red}{\int t^2~\cos t~\text{d}t} & = -t^3 \cos t + 3\left[t^2 \sin t-\int \sin t \cdot 2t~\text{d}t\right] \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6 \color{red}{\int t \sin t~\text{d}t} \end{aligned}$$Terakhir, misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \sin t~\text{d}t & \Rightarrow v = -\cos t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} & -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6 \color{red}{\int t \sin t~\text{d}t} \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6\left[-t \cos t-\int -\cos t~\text{d}t\right] \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t+6t \cos t-6 \sin t \\ & = -t^3+6t~\cos t + 3t^2-6~\sin t + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t^3 \sin t~\text{d}t = -t^3+6t~\cos t + 3t^2-6~\sin t + C }$$ [collapse] Soal Nomor 4 Tentukan hasil dari integral tentu berikut. $$\displaystyle \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x$$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \cos 3x~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac13 \sin 3x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral tentu, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x \\ & = \left[x \cdot \dfrac13 \sin 3x\right]_{\pi/9}^{\pi/6}-\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/9} \dfrac13 \sin 3x~\text{d}x \\ & = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac13 \sin \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{9} \cdot \dfrac13 \sin \dfrac{\pi}{3}-\dfrac13 \cdot \dfrac13 \left[-\cos 3x\right]_{\pi/9}^{\pi/6} \\ & = \dfrac{\pi}{18}1-\dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac12\sqrt3+\dfrac19\left\cos \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{3}\right \\ & = \dfrac{\pi}{18}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3 + \dfrac19\left0-\dfrac12\right \\ & = \dfrac{\pi}{18}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3-\dfrac{1}{18} \\ & = \dfrac{3\pi}{54}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3-\dfrac{3}{54} \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi-3}{54} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x = \dfrac{3-\sqrt3\pi-3}{54}}$$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Gunakan integrasi parsial untuk menurunkan rumus berikut. $$\displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x = -\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C$$ Pembahasan Diberikan integral berikut. $$ \displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x$$Akan ditunjukkan bahwa hasil integrasinya adalah $$-\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C$$menggunakan rumus integral parsial. Misalkan $$\begin{aligned} u = \sin x & \Rightarrow \text{d}u = \cos x~ \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 3x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac13 \cos 3x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\sin x}_{u} \underbrace{\sin 3x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\sin x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac13 \cos 3x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac13 \cos 3x}_{v} \cdot ~\underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac13 \int \cos 3x \cos x~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan rumus integral parsial sekali lagi pada bentuk $$\displaystyle \int \cos 3x \cos x~\text{d}x$$Misalkan $$\begin{aligned} u = \cos x & \Rightarrow \text{d}u = -\sin x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos 3x & \Rightarrow v = \dfrac13 \sin 3x \end{aligned}$$sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac13\left[\underbrace{\cos x}_{u} \cdot \left\underbrace{\dfrac13 \sin 3x}_{v}\right- \int \underbrace{\dfrac13 \sin 3x}_{v} \cdot ~\underbrace{-\sin x~\text{d}x}_{\text{d}u}\right] \\ \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac19 \cos x \sin 3x+\dfrac19 \int \sin 3x \sin x~\text{d}x \\ \dfrac89 \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac19 \cos x \sin 3x+K \\ \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac38 \sin x \cos 3x+\dfrac18 \cos x \sin 3x + C \end{aligned}$$Jadi, berdasarkan integrasi parsial, kita telah menurunkan rumus integral trigonometri berikut. $$\boxed{\displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x = -\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Gunakan integrasi parsial untuk menurunkan rumus berikut. $$\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C$$ Pembahasan Diberikan integral berikut. $$\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x$$Akan ditunjukkan bahwa hasil integrasinya adalah $$-\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C$$menggunakan rumus integral parsial. Misalkan $$\begin{aligned} u = \cos 5x & \Rightarrow \text{d}u = -5 \sin 5x~ \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 7x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac17 \cos 7x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\cos 5x}_{u} \underbrace{\sin 7x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\cos 5x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac17 \cos 7x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac17 \cos 7x}_{v} \cdot \underbrace{-5 \sin 5x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac57 \int \cos 7x \sin 5x~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan rumus integral parsial sekali lagi pada bentuk $$\displaystyle \int \cos 7x \sin 5x~\text{d}x$$Misalkan $$\begin{aligned} u = \sin 5x & \Rightarrow \text{d}u = 5 \cos 5x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos 7x & \Rightarrow v = \dfrac17 \sin 7x \end{aligned}$$sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac57\left[\underbrace{\sin 5x}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac17 \sin 7x}_{v}- \int \underbrace{\dfrac17 \sin 7x}_{v} \cdot ~\underbrace{5 \cos 5x~\text{d}x}_{\text{d}u}\right] \\ \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{49} \sin 5x \sin 7x + \dfrac{25}{49} \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x \\ \dfrac{24}{49} \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{49} \sin 5x \sin 7x + K \\ \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C \end{aligned}$$Jadi, berdasarkan integrasi parsial, kita telah menurunkan rumus integral trigonometri berikut. $$\boxed{\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C}$$ [collapse] Soal Nomor 7 Carilah hasil dari $\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = e^x & \Rightarrow \text{d}u = e^x~\text{d}x \\ \text{d}v = \sin x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\cos x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x = -e^x \cos x + \color{red}{\int e^x \cos x~\text{d}x}~~~\cdots 1$$Selanjutnya, gunakan rumus integrasi parsial sekali lagi pada bentuk integralnya ditandai dengan warna merah di atas. $$\begin{aligned} u = e^x & \Rightarrow \text{d}u = e^x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x \end{aligned}$$Kita akan peroleh $$\displaystyle \int e^x \cos x~\text{d}x = e^x \sin x- \color{blue}{\int e^x \sin x~\text{d}x}$$Jika disubstitusikan pada persamaan $1$ di atas, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x & = -e^x \cos x + e^x \sin x-\int e^x \sin x~\text{d}x \\ 2 \int e^x \sin x~\text{d}x & = -e^x \cos x + e^x \sin x+C \\ \int e^x \sin x~\text{d}x & = \dfrac{ -e^x \cos x + e^x \sin x}{2}+K \\ \int e^x \sin x~\text{d}x & = \dfrac{e^x\sin x-\cos x}{2}+K \end{aligned}$$Catatan Perhatikan bahwa notasi konstanta berubah dari $C$ menjadi $K = \dfrac{C}{2}$. Penggunaan notasi konstanta bisa disesuaikan dengan memilih huruf kapital yang lain. Fakta bahwa integral yang hendak kita cari muncul kembali di ruas kanan membuat kita dapat mencari hasil integralnya. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 8 Hitunglah $\displaystyle \int \ln ax^b~\text{d}x$ untuk suatu $a, b$ anggota bilangan real. Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln ax^b = \ln a + b \ln x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{b}{x}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\ln ax^b}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\ln ax^b}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v}\cdot ~\underbrace{\dfrac{b}{x}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \ln ax^b-\int b~\text{d}x \\ & = x \ln ax^b-bx + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \ln ax^b~\text{d}x = x \ln ax^b-bx + C}$$ [collapse] Soal Nomor 9 Hitunglah $\displaystyle \int \arctan x~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \arctan x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{1+x^2}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\arctan x}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\arctan x}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \arctan x-\int \dfrac{x}{1+x^2}~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan metode substitusi. Misalkan $u = 1+x^2$, maka $\text{d}u = 2x~\text{d}x$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle x \arctan x-\int \dfrac{x}{1+x^2}~\text{d}x & = x \arctan x-\dfrac12 \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u \\ & = x \arctan x-\dfrac12 \ln u + C \\ & = x \arctan x-\dfrac12 \ln 1+x^2 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \arctan x~\text{d}x = x \arctan x-\dfrac12 \ln 1+x^2 + C}$$ [collapse] Soal Nomor 10 Hitunglah nilai dari $\displaystyle \int_1^e \sqrt{t} \ln t~\text{d}t.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln t & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{t}~ \text{d}t \\ \text{d}v = \sqrt{t}~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac23t^{3/2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^e \underbrace{\ln t}_{u} \underbrace{\sqrt{t}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \left[\underbrace{\ln t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac23t^{3/2}}_{v}\right]_1^e- \int_1^e \underbrace{\dfrac23t^{3/2}}_{v} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{t}~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \left[\dfrac23t^{3/2} \cdot \ln t\right]_1^e-\dfrac23 \int_1^e t^{1/2}~\text{d}t \\ & = \left[\dfrac23t^{3/2} \cdot \ln t\right]_1^e-\dfrac49 \left[t^{3/2}\right]_1^e \\ & = \left\dfrac23e^{3/2} \cdot \ln e-\dfrac23 \cdot 1^{3/2} \cdot \ln 1\right-\dfrac49\lefte^{3/2}-1^{3/2}\right \\ & = \left\dfrac23e^{3/2}-0\right-\dfrac49\lefte^{3/2}-1\right \\ & = \dfrac29e^{3/2}+\dfrac49 \\ & = \dfrac29\lefte^{3/2} + 2\right \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \sqrt{t} \ln t~\text{d}t = \dfrac29\lefte^{3/2} + 2\right}$$ [collapse] Soal Nomor 11 Carilah galat kesalahan dalam langkah pembuktian menggunakan integrasi parsial berikut bahwa $0 = 1.$ Untuk mengintegralkan $\displaystyle \int \dfrac{1}{t}~\text{d}t$, tetapkan permisalan berikut. $$\begin{aligned} u = \dfrac{1}{t} & \Rightarrow \text{d}u = -\dfrac{1}{t^2}~ \text{d}t \\ \text{d}v = \text{d}t & \Rightarrow v = t \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\dfrac{1}{t}}_{u} \cdot \underbrace{\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{\dfrac{1}{t}}_{u} \cdot \underbrace{t}_{v}- \int \underbrace{t}_{v} \cdot \underbrace{-\dfrac{1}{t^2}~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ \int \dfrac{1}{t}~\text{d}t & = 1+\int \dfrac{1}{t}~\text{d}t \\ 0 & = 1 \end{aligned}$$ Pembahasan Dengan menggunakan aturan dasar integral tak tentu, kita seharusnya tahu bahwa $$\displaystyle \int fx~\text{d}x = Fx + C$$ untuk suatu konstanta $C$. Ini menunjukkan setiap proses pengintegrasian integral tak tentu, konstanta $C$ harus dimunculkan. Pada langkah terakhir pembuktian di atas, konstanta $C$ tidak dimunculkan. Misalkan hasil integralnya adalah $Fx + C_i$, maka diperoleh $$\begin{aligned} \cancel{Fx} + C_1 & = 1 + \cancel{Fx} + C_2 \\ C_1 & = 1 + C_2 \\ 0 & = 1 + C_2-C_1 \\ 0 & = 1 + C \end{aligned}$$Pernyataan ini akan benar apabila $C_2-C_1 = C = -1$. Catatan Pembuktian yang menghasilkan pernyataan yang keliru seperti kasus ini termasuk dalam ranah kelancungan matematis mathematical fallacy. [collapse] .